Metode Karnaugh Map

 

     

Karnaugh Map atau K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika dengan cara pemetaan. K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah inputan dari rangkaian logika yang sedang kita hitung.

Langkah – langkah pemetaan K-Map secara umum :

1. Menyusun aljabar Boolean terlebih dahulu.
2. Menggambar rangkaian digital.
3. Membuat Table Kebenarannya.
4. Merumuskan Tabel Kebenarannya.
5. Lalu memasukkan rumus Tabel Kebenaran ke K-Map (Kotak-kotak).

Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk melakukan penyederhanaan terhadap sebuah persamaan logika. Salah satu cara yang cukup terkenal adalah dengan menggunakan teori Karnaugh Map atau peta karnaugh. Bagi anda yang tidak suka menyederhakan rangkaian logika menggunakan hukum  booelan de morgan anda bisa menggunakan cara yang satu ini. Berikut ini adalah penjelasan dari cara Karnaugh map dalam melakukan penyederhanaan sebuah persamaan logika.

K-Map 2 variabel

Kita ambil 2 (dua) variable A dan B, dari kedua variable ini kemungkinan yang terjadi adalah 4 buah kemungkinan, dalam K-Map penyelesaiannya adalah dengan menggunakan 4 kotak dan setiap kotak merupakan jalinan antara variable atau antara negasi dari variable. (lihat table berikut).

gambar 1.1

Koordinat antara A dan B merupakan konjungsi, biasanya bernilai 0 atau 1, untuk menuliskan aljabar boole diambil kotak bernilai 1 saja:

gambar 1.2

Berikut terdapat 3 kotak bernilai 1:

gambar 1.3

Dalam K-Map dapat pula diterapkan system kelompok mendatar atau kelompok vertical, berikut menunjukan pengelompokan mendatar dan vertical.Pengelompokan mendatar: 

gambar 1.4

Pengelompokan vertikal:

gambar1.5

Pengelompokan kombinasi:

gambar 1.6

K-Map 3 variabel

Kita ambil 3 (dua) variable A, B dan C, dari kedua variable ini kemungkinan yang terjadi adalah 8 buah kemungkinan, dalam K-Map penyelesaiannya adalah dengan menggunakan 8 kotak dan setiap kotak merupakan jalinan antara variable atau antara negasi dari variable. (lihat table berikut).

gambar 1.7

Untuk pengelompokan disamping dilakukan seperti diatas dapat pula dilakukan dengan system berikut:

gambar 1.8

Atau dengan cara berikut:

gambar 1.9

Adapun cara berikut tidak diijinkan:

gambar 1.10

Berikut adalah contoh K-Map dengan 3 variabel A, B dan C:

gambar 1.11

Persamaan aljabar boole berdasarkan data pada K-Map adalah:

bila disederhanakan hasilnya adalah:

Karnaugh Map ( K- Map)

Pengertian 

a. Suatu peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakan persamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran menjadi sebuah rangkaian logika.

b.salah satu metode yang paling mudah untuk penyederhanaan rangkaian logika.

Jenis-Jenis K-Map

1.K-Map 2 variabel.

2.K-Map 3 variabel.

3.K-Map 4 variabel.

4.K-Map 5 variabel.

Metode Karnaugh Map ( K-Map)

1.Nilai -nilai kebenaran diletakkan pada K-Map.

2.Kotak-kotak K-Map yang berdekatan secara horizontal dan vertikal hanya berbeda 1 variabel.

3.Pola dari atas ke bawah atau kiri ke kanan harus berbentuk AB,AB,AB,AB.

4.Bentuk SOP bisa didapatkan dengan melakukan operasi OR pada semua term ( AND) dari kotak yang bernilai 1.

Langkah-langkah menggunakan metode peta Karnaugh adalah sebagai berikut
1. Pastikan terlebih dahulu persamaan Boolen berada dalam bentuk standar. Dalam hal ini saya menggunakan standar SOP (Sum Of Product).
Contoh :

2. Susun tabel kebenaran untuk persamaan di atas.

3. Buat peta Karnaugh dengan jumlah kotak 2n dengan n = banyaknya variabel. Dari contoh di atas, terdapat 3 variabel sehingga kotak peta Karnaugh adalah 23 = 8 kotak. Dan masukkan minterm (m) dari tabel kebenaran ke dalam kotak yang sesuai.

4. Buat loop atau kelompok pada minterm-minterm yang berdekatan dengan banyaknya anggota kelompok 1, 2, 4, 8 atau 16 supaya dapat dihilangkan minterm yang berlawanan.Pada tabel Karnaugh di atas terdapat kelompok dengan 2 anggotam minterm yaitu kelompok biru dan kelompok merah. Masing-masing kelompok beranggotakan 2 minterm. Maka persamaan minimum dapat diperoleh dari gabungan minterm yang ada pada tiap-tiap kelompok yaitu :

5. Tulis ulang bentuk minimum dari persamaan aljabar Boolean yaitu :6. Buat rangkaian digital dengan menggunakan persamaan minumum pada no 5Gambar 1 rangkaian digital untuk persamaan no 5
Metoda peta Karnaugh sangat berguna dan efektif untuk mendesain rangkaian digital terutama untuk rangkaian-rangkaian digital dengan banyak variabel.

Contoh soal 2-5 variabel :

gambar 1.12

Pada K-Map 2 variabel,variabel yang digunakan yaitu 2.misalnya A dan B

catatan:

Untuk setiap variabel yang memiliki aksen,maka didalam ditulis o

Untuk setiap variabel yang tidak memiliki aksen,maka didalam tabel ditulis 1

contoh:A' (ditulis o), B ( ditulis 1)

Desain /model pemetaan K-Map 2 variabel dapat dibentuk dengan 2 cara seperti gambar .pada pembahasan ini

gambar 1.13

Dalam menentukan hasil pemetaan,ambil daerah yang berbentuk seperti berikut:

gambar 1.14

contoh soal:

sederhanakan persamaan logika berikut dengan K-Map:yA;B+AB'

gambar 1.15

2. K-Map 3 Variabel

gambar 1.16

gambar 1.17

Pada K-Map 3 variabel, variabel yang digunakan yaitu 3. Misalnya variabel A, B & C.

Desain pemetaan K-Map 3 variabel dapat dibentuk dengan 4 cara seperti pada (Gambar 3.2.1). Pada pembahasan ini, penulis hanya menggunakan desain pemetaan Model 2 seperti berikut : 

gambar 1.18

Contoh soal :

Sederhanakan persamaan logika berikut dengan K-Map : 

y = ABC' + ABC + AB'C + AB'C'

gambar 1.19

gambar 1.20

3. K-Map 4 Variabel

gambar 1.21

Pada K-Map 4 variabel, variabel yang digunakan yaitu 4. Misalnya variabel A, B, C & D.

Desain pemetaan K-Map 4 variabel dapat dibentuk dengan 2 cara seperti pada  Pada pembahasan ini, 

gambar 1.23

Contoh soal :

Sederhanakan persamaan logika berikut dengan K-Map : 

y = ABC'D' + ABC'D + ABCD + ABCD' + AB'CD + AB'CD'

gambar 1.24

gambar 1.25

Berikut merupakan penyerderhanaan Fungsi Boolean dengan K-Map :

Penyderhanaan 2 Variabel menggunakan K-Map :

Contoh  :

F = AB + A’B + AB’

Penyelesaiaan :

Gambarkan K-Map Model-1 untuk dua variabel

Ganti kotak-kotak yang sesuai untuk AB, A’B, dan AB, dengan angka satu (1) dan sisanya dengan angka nol (0).

Gabungkan semua angka satu (1) sesederhana mungkin. Untuk mempermudah dapat menggunakan pemetaan K-Map dua variabel.

Hasil penyederhanaan dari F = AB + A’B + AB’ adalah F = A + B

Dengan Cara aljabar yaitu :

F = AB + A’B + AB’

= A (B+B’) + A’B

= A (1) + A’B    = A + A’B

= A + B

Penyederhanyaan 3 Variabel menggunakan K-Map :

Contoh :

F = ABC’ + AB’C’ + AB’C + ABC

Penyelesaiaan :

Gambarkan K-Map Model-1 untuk 3 variabel kemudian tandai dengan angka satu (1) setiap kotak yang mewakili ABC’, AB’C’, AB’C, dan ABC, sisanya diisi dengan angka nol (0).

Gambarkan pemetaan K-Map untuk 3 variabel yang paling mendekati dan paling sederhana. Pada kasus ini area A pada K-Map dapat mewakili semua variabel dalam soal.

Hasil penyederhanaan dari F = ABC’ + AB’C’ + AB’C + ABC adalah F = A

Perbandingan dengan Aljabar:

F = ABC’ + AB’C’ + AB’C + ABC

= AB (C’+C) + AB’ (C’+C)

= AB (1) + AB’ (1)    = AB + AB’

= A (B+B’)    = A (1)    = A

Penyederhanaan 4 Vaariabel :

Contoh : F = A’BC’D + ABC’D + A’BCD + ABCD

Gambarkan K-Map Model-1 untuk 4 variabel kemudian tandai dengan angka satu (1) setiap kotak yang mewakili A’BC’D, ABC’D, A’BCD, ABCD, sisanya diisi dengan angka nol (0).

Gambarkan pemetaan K-Map untuk 3 variabel yang paling mendekati dan paling sederhana. Pada kasus ini area A pada K-Map dapat mewakili semua variabel dalam soal.